Возможные причины, почему возникает ошибка подключения и не удалось подключиться к сети Steam:
- Технические работы или сбой на серверах.
- Неполадки с интернет соединением.
- Steam блокируется антивирусом, провайдером или Роскомнадзором.
В таких случаях необходимо сначала проверять статус серверов Steam - https://store.steampowered.com/stats/
На этой странице публикуется статистика, в которой видно количество онлайн пользователей. Как раз сейчас происходит сбой, это видно на графике:

На момент написания ответа очень мало пользователей, а так же нет ни одной игры, в которую бы кто-то играл (снизу слева показывает 0 популярных игр). Это говорит о том, что сбой общий и волноваться не о чем.
Однако, если со статистикой всё в порядке, Стим и все его сервисы работают исправно, то это говорит о том, что проблема на Вашей стороне (на компьютере или с интернетом).
Что нужно проверить в этом случае:
- Проверьте, как работает интернет. Все ли сайты открываются?
- Перезагрузите компьютер, роутер или модем. Для перезагрузки роутера достаточно отключить его от питания на 10-20 секунд.
- Иногда помогает сброс сетевых настроек и служб Windows:
— нажмите WIN + R
— в появившемся поле введите cmd
— откроется командная строка, ввести по очереди команды (после каждой команды нажать Enter):
ipconfig /flushdns
ipconfig /registerdns
netsh winsock reset
Эти команды сбросят кэш DNS и прочие сетевые настройки Windows.
- Сбросьте кэш Steam: опять нажимаем WIN + R и вводим steam://flushconfig
- Проверьте не блокируется ли сайт и само приложение Steam вашим антивирусом или провайдером.
Так же можно почитать этот ответ - https://gamerask.ru/98/nepoladki-pri-podklyuchenii-k-serveram-steam-chto-delat?show=149#a149