Закрыть Steam через диспетчер задач
Закройте Steam, зайдите в диспетчер задач и принудительно закройте программы связанные со Steam. Попробуйте зайти снова.
Сервера Steam
Возможно сервера Steam перегружены или идёт обновление, проверить статус сервера можно тут.
Попробуйте перейти на другой сервер, менее загруженный.
Способ от Valve
Правой кнопкой мышки кликните по ярлыку Steam, выбираете:
К концу строчки дописываем "-tcp –login Ваш логин и пароль".
Должно получится так - C:\Program Files\Steam\steam.ехе" -tcp -login Vasyapupkin 9876543.
Сохраняем изменения и пробуем зайти.